Recomandări metodice generale

1. Cunoaşterea rezultatelor de bază în cadrul specialităţii şi a rezultatelor principale obţinute recent;
2. Însuşirea metodelor contemporane ce se aplică în cercetările ştiinţifice din domeniul ecuaţiilor diferenţiale (ordinare şi cu derivate parţiale);
3. Cunoaşterea metodelor de cercetare ştiinţifică in domeniile adiacente: algebra, analiza matematică, analiză funcţională, matematica de calcul, grafica pe calculator, etc;

1. Capacitatea de a determina problemele principale ce trebuie cercetate în cadrul tematicii tezei de doctorat;
2. Abilităţi de a efectua independent cercetări ştiinţifice în domeniu;
3. Deprinderea de a sistematiza şi a expune rezultatele ştiinţifice în formă de rapoarte şi articole ştiinţifice;
4. Abilităţi în pregătirea prelegerilor la cursurile fundamentale şi de specialitate în instituţiile superioare de învăţământ, în conducerea ştiinţifică a tezelor de an şi de licenţă, de asemenea, deprinderi de bază în folosirea calculatorului la disciplinele de specializare.

Conţinutul cursului

1. Teorema de existenţă şi unicitate a problemei Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi. ([1], § 3, 21)
2. Ecuaţii şi sisteme de ecuaăii liniare cu coeficienţi constanţi şi cu partea dreaptă de o anumită formă (cuazipolinomială). ([1], § 7, 8, 10, 12, 14)
3. Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii liniare cu coeficienţi variabili. Varietatea solutiilor. Formula lui Liouville-Ostrogradskii. ([1], § 14, 17, 18)
4. Teorema despre dependenta continuă a soluţiei deс ondiţiile iniţiale şi de parametru. ([1], § 2, 3)
5. Derivabilitatea soluţiei în raport cu condiţiile iniţiale şi de parametru. ([1], § 24)
6. Sisteme autonome. Clasificarea punctelor singulare. ([1], § 15, 16)
7. Stabilitatea dupa Liapunov. Teorema lui Liapunov despre stabilitate dupa prima aproximaţie. ([1], § 26) Cicle limită. ([1], § 28)
8. Ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul întâi. ([2], partea a II, cap. 1, § 28)
9. Elemente ale calculului variaţional. Funcţia lui Lagrange (lagrangianul). Condiţiile de extrem. Ecuaţia lui Euler-Lagrange. Energia. Impulsul. Hamiltonianul. Ecuaţia lui Hamilton-Iacobi. ([2], partea I, cap. I; [9], partea I, cap. 5, § 31--36, cap. 6, § 37, 38)
10. Teorema lui Fredholm pentru ecuaţii integrale de genul doi. ([4], cap. 4, § 17, 18; [7], cap. II, § 4)
11. Ecuaţii integrale cu nucleul hermetic. Teorema lui Hilbert-Schmidt. ([4], cap. 4, § 19-22; [7], cap. II, § 5)
12. Noţiunea de caracteristică a ecuaţiilor cu derivate parţiale. Problema Cauchy. Teorema Kovalevskaya. Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul doi. ([4], cap. I, § 3; [6], cap. I, § 2, 3; [7], cap. I, § 1, 2)
13. Probleme din fizică guvernate de ecuaţii de tip eliptic. Proprietăţile funcţiilor armonice (derivabilitatea, teoreme despre valoarea medie, principiul maximumului, teorema despre ridicarea singularităţii, teorema lui Liouville). Soluţia fundamentală a ecuaţiei lui Laplace. ([4], cap. I, § 2; cap. 5, § 24, 27; [5], cap. 4, § 1, 2; [6], cap. III, § 27--30; [7], cap. 4, § 3; [12], cap. I)
14. Soluţionarea problemei la limită pentru ecuaţia lui Laplace cu ajutorul metodei potenţialelor. ([4], cap. 5, § 27, 28, 31; [5], cap. 4, § 5; anexa 1, § 3; [6], cap. III, § 31—36; [11], cap. II, § 4-7)
15. Soluţii slabe (generalizate) ale problemelor la limită de bază pentru ecuaţii eliptice de ordinul doi. Rezolvbilitatea probleme lor la limită şi derivabilitatea soluţiilor generalizate. ([7], cap. 4, § 1, 2; [8]. cap. II)
16. Metoda variaţională de soluţionare a problemelor la limită pentru ecuaţii eliptice de ordinul doi. ([7], cap. IV, § 1, p. 9; [11], cap.III, § 3)
17. Problema spectrală pentru ecuaţii eliptice de ordinul doi. Dezvoltarea în serie în raport cu funcţiile proprii ala problemei spectrale. ([4], cap. V, § 21, 22; [7], cap. IV, § 1, p. 3--5; [3], cap. II; [11], cap.III, § 6)
18. Probleme fizice guvernate de ecuaţii de tip parabolic. Poprietăţile soluţiilor ecuaţiei propagării căldurii ( derivabiltatea, principiul maximumului). Soluţia fundamentală. Problema Cauchy. ([4], cap. I, § 2; cap. III, § 11, 16; [5], cap. III, § 1, cap. IV, § 1; [6], cap. III, § 38 - 40; [7], cap. VI, § 1; [3], cap. III; [11], cap.IV)
19. Probleme mixte de bază pentru ecuaţia căldurii; soluţii clasice şi generalizate a problemelor mixte; rezolvarea problemelor mixte cu ajutorul metodei lui Fourier. ([4], cap. VI, § 34; [5], anexa I, § 2; [6], anexa, § 42, 43; [7], cap. VI, § 2; [8], cap. III)
20. Problemele fizice guvernate de ecuaţia de tip hiperbolic. Derivabilitatea finită a soluţiilor ecuaţiei undelor. Soluţia fundamentală. Problema Cauchy. ([4], cap. I, § 2; cap. III, § 12--14; [5], cap. II, § 2; cap. V, § 1, 2; [6], cap. II, § 11--13; [7], cap. V, §1; [8], cap.IV; [11], cap. V, § 1-3 )
21. Problemele mixte de bază pentru ecuaţia undelor. Metoda lui Fourier de rezolvare a problemelor mixte. Metoda lui Galerkin de rezolvare a problemelor mixte pentru ecuaţia undelor. ([4], cap. VI, § 33; cap V, cap. II, § 3; cap. V, § 3; [6], cap. II, § 17-23; [7], cap. V, § 2; [8], cap. IV)
22. Distribuţii. Derivarea distribuţiilor. Convoluţia distribuţiilor. Distribuţii temperate. Transformarea Fourier a distribuţiilor temperate. ([4], cap. II, § 5--9. cap. III, § 11)
23. Spaţiile lui Sobolev H^k (Ω). Noţiune de urmă a unei funcţii din H^k (Ω). Echivalenţa normelor în spaţiile H^1 (Ω) şi o? H^k (Ω). Teoremele de scufundare a lui S. Sobolev. ([2], partea I, cap. III; [7], cap. III, § 3--6; [8], § 1—7; [11], cap III, § 2; [12], cap VII.)

Literatura de specialitate

1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Наука. 1974.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 5, части 1 и 2. М. Наука. 1981.
3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное уравнение. М. Наука. 1979.
4. Владимиров В.С. Уравнеия математической физики. М. Наука. 1984.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. Наука. 1981.
6. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М. Физматгиз. 1961.
7. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения с чстными производными. М. Наука. 1983.
8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М. Наука. 1973.
9. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. «Современная геометрия. Методы и приложения.» М. Наукаю 1986.
10. Vladimirov V.S. Ecuaţiile fizicii matematice.Editura Ştiinţifică şi enciclopedică. Bucureşti, 1980
11. Barbu V. Probleme la limită pentru ecuaîii cu derivate parţiale. Editura Academiei Române, Bucureşti, 1993
12. Д. Гилбарг, Н.Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М. Наука. 1989.

Bibliografia suplimentară

1. Stepanov V.V. Curs de ecuaţii diferenţiale. Chişinău, Lumina, 1979.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Наука. 1984.
3. Mihlin S.G. Ecuaţii liniare cu derivate parţiale. Editura Ştiinţifică şi enciclopedică. Bucureşti, 1983.
4. Кошляков Н.С. Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., Высшая школа, 1970.
5. Arnold V. Ecuaţii diferenţiale ordinare. Editura Ştiinţifică şi enciclopedică. Bucureşti, 1978.