Recomandări metodice generale

1. Cunoaşterea rezultatelor de bază în cadrul specialităţii şi a rezultatelor principale obţinute recent;
2. Însuşirea metodelor contemporane ce se aplică în cercetările ştiinţifice din domeniul geometriei discrete şi convexe, geometriei diferenţiale şi algebrice, topologiei generale, topologiei algebrice şi diferenţiale, teoria varietăţilor şi complexelor celulare;
3. Cunoaşterea metodelor de cercetare ştiinţifică in domeniile adiacente: algebra, analiza matematică, analiză funcţională, teoria ecuaţiilor diferenţiale, cristalografia şi fizica cristalelor, matematica de calcul, grafica pe calculator, etc;

Sfera de cunoştinţe şi spectrul de abilităţi profesionale:

1. Capacitatea de a determina problemele principale ce trebuie cercetate în cadrul tematicii tezei de doctorat;
2. Abilităţi de a efectua independent cercetări ştiinţifice în domeniu;
3. Deprinderea de a sistematiza şi a expune rezultatele ştiinţifice în formă de rapoarte şi articole ştiinţifice;
4. Abilităţi în pregătirea prelegerilor la cursurile fundamentale şi de specialitate în instituţiile superioare de învăţământ, în conducerea ştiinţifică a tezelor de an şi de licenţă, de asemenea, deprinderi de bază în folosirea calculatorului la disciplinele de specializare.

Conţinutul cursului

Topologia generală

1. Elemente de teorie a mulţimilor.

   Mulţimi numerabile. Puterea mulţimii. Mulţimi ordonate. Numere transfinite. Inducţia transfinită. ([1], cap.1-3).

2. Spaţii metrice şi topologice.

   Spaţii topologice şi aplicaţii continue. Spaţii metrice. Baze şi ponderea spaţiului topologic. Conexitate, conexitatea liniară, axiomele de separare. Teorema lui Baire. Compactitate şi completitudine. Omeomorfism, produse directe, factorizarea spaţiilor topologice. Proprietăţile principale ale compactităţii: atingerea maximului şi minimului funcţiei continue pe un compact, păstrarea compactităţii la aplicaţiile continue, teorema lui Tihonov, teorema lui Weierstrass-Stone. Extinderi bicompacte. Spaţii paracompacte. Dimensiunea submulţimilor spaţiului euclidian. Egalitatea . Spaţii uniforme, produsul lor şi completitudinea ([1],cap.4-6; [2], cap.3-4; [3], cap.1-6).

3. Spaţii normate şi topologice liniare.

   Spaţii funcţionale liniare topologice (spaţii de funcţii). Mulţimi convexe şi funcţionale convexe. Teorema lui Hahn-Banach ([14], cap.3).

4. Complexe simpliciale.

   Complexe simpliciale. Echivalenţa homotopică. Clase de homotopie a aplicaţiilor. Contracţia ([4], p.I, cap.1; p.II, cap.1-4).

5. Varietăţi topologice.

   Varietăţi topologice. Exemple simple. Condiţia de a fi spaţiu Hausdorff. Coordonate locale. Funcţii pe varietăţi. Varietăţi triangulate. Varietăţi orientabe. ([4], p.II, cap.1, 4; p.2, cap.1).

6. Grupuri topologice.

   Definirea topologiei grupului prin baza vecinătăţilor unităţii. Subgrup, divizor normal, grup factor, homomorfism, componenta unităţii, axiomele de separare. Grupuri conexe şi total neconexe. Produs direct. Grupuri Lie. ([5], cap.3,7).

Topologia algebrică

1. Grupul fundamental şi acoperiri

   Grupul fundamental şi invarianţa lui topologică. Grupul fundamental al circumferinţei şi al complexului simplicial (ultima fără demonstraţie). Monoconexitate. Acoperiri. Lema homotopiilor de acoperire. Grupul monodromiei acoperirii. Acoperirea universală. Acoperire şi grupul fundamental. ([4], p.II, cap. 4).

2. Omologiile complexelor simpliciale.

   Triangulaţii şi subdiviziune baricentrică. Omologiile şi coomologiile complexelor simpliciale. Teorema despre aproximarea simplicială (fără demonstraţie). Invarianţa omotopică a grupurilor de omologii. Grupul de omologii monodimensionale şi grupul fundamental. Grupuri de omologii şi grupul fundamental al suprafeţelor bidimensionale, clasificarea suprafeţelor bidimensionale. Şirul exact al perechii ([4], p.II, cap.1,4).

3. Spaţii fibrate.

   Axioma homotopiilor de acoperire. Spaţii fibrate local triviale. Fibraţi vectoriali. Suprafeţe secante. Grupuri homotopice ale spaţiilor topologice. ([4], p.II, cap. 4-6).

Topologia varietăţolor netede

1. Varietăţi netede.

Aplicaţii netede, difeomorfisme, orientaţii, subvarietăţi. Exemple: suprafeţe bidimensionale, spaţii proiective, grupuri matriciale Lie, varietăţile lui Stifel şi Grassmann. Vectori tangenţi, fibraţi tangenţi. ([10], cap.5).