Conţinutul programei

1. Elemente de analiza funcţională.

   Elemente din teoria mulţimilor. Spaţii metrice şi topologice, convergenţa, completarea, compaticitatea. Spaţii liniare normate. Funcţionale liniare şi operatori liniari. Spaţii Hilbert, dezvoltări, spectrale ale operatorilor unitari. ([1], cap. 1-4; [2], cap. 7).

2. Teoria măsurii şi a integralei.

   Măsuri şi măsuri externe, extinderea măsurilor. Funcţii măsurabile, integrabilitatea, convergenţa. Funcţii generale de mulţimi. Dezvoltare (descompunerea) lui Han şi Banan. Continuitatea absolută. Teorema lui Radon-Nicodim. Produsul de spaţii, teorema lui Fubini. ([3], cap. 2-5, cap 6 && 28-32, cap. 7).

3. Noţiuni generale din teoria probabilităţilor.

   Câmpuri (spaţii) de probabilitate şi măsuri. Teorema lui Kolmogorov despre extinderea unui sistem concordat de repartiţii. Probabilităţi condiţionate şi valori medii. Funcţii caracteristice şi proprietăţile lor. ([4]; [5], cap. 15, [6], cap. 1, & 3; [8], cap. 7).

4. Teoreme limită din teoria probabilităţilor.

   Convergenţa slabă a măsurilor în spaţii metrice. Tipuri de convergenţa a şirurilor de funcţii de repartiţie şi integrale. Teoreme limită pentru sume de variabile aleatoare independente. ([2], &&9, 11, 22; [5], cap. 17; [6], cap. 6, & 1; [7]).

5. Elemente din teoria proceselor aleatoare.

   Noţiunile de bază ale teoriei proceselor aleatoare. Procese staţionare şi teorema ergodică. Transformări ce păstrează măsura, mulţimi invariante, ergodicitate, teorema ergodică, reprezentarea spectrală a funcţiilor de corelaţie şi a proceselor.

   Şiruri de variabile aleatoare ce alcătuiesc un martingal.

   Procese Marcov.

   Procese omogene cu o mulţime numărabilă de stări. Procese de difuzie în sens larg. Integrala stohastică Ito. Existenţa şi unicitatea soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale stohastice. Metoda ecuaţiilor diferenţiale pentru valorile medii ale funcţionalelor de procese de difuzie. ([6], cap. 1-5, cap. 7, & 2, cap. && 1-3,5; [8], cap. 10).

6. Elemente de statistica matematică.

   Noţiunea de suficienţă. Criteriul de factorizare. Noţiunea de completitudine. Completitudinea familiei exponenţiale. Noţiuni din teoria estimaţiilor. Estimaţii nedeplăsate cu dispersie minimală. Estimaţii de verosimilitate maximală. Noţiuni de verificare a ipotezelor. Lema Neiman-Pirosn. Criterii uniform cele mai puternice. Criterii nedeplăsate. ([9], cap. 2, && 6,7, cap.3-5; [10], cap. 32,33; [11], cap. 2 &&1-3,6,8,12,15, cap. 3, && 1,2,4-6).

Literatura de specialitate.

1. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функцио-нального анализа. М., Наука. 1976.
2. Рисе Ф., Секефальви-Надь В. Лекции по функциональному анализу. М., ИЛ. 1954.
3. Халмош П. Теория меры. М, ИЛ. 1953.
4. Колмлгоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М., Наука. 1974.
5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.2, М., Мир. 1967.
6. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М., Наука. 1965.
7. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л. ГТТИ, 1949.
8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., Наука. 1972.
9. Леман Э.Л. Проверка статистических гипотез. М., Наука. 1964. Ю.Крамер Г. Математические методы статистики. М., Мир. 1975.
10. Ширяев А.Н. Вероятность. М., Наука. 1980.
11. Боровков А.А. Математическая статистика. М., Наука. 1984.