Recomandări metodice generale

Scopul studierii programului este acumularea de cunoştinţe profunde în domeniul Matematicii de calcul şi Controlului optimal, bazate pe disciplinele fundamentale: Ecuaţii diferenţiale şi în derivate parţiale, Ecuaţii integrale, Analiza funcţională, Topologie şi altele.

În baza acestor disciplini sunt construite şi analizate modelele matematice ale multiplelor procese din ştiinţele naturale, economice şi alte domenii. O componentă importantă în studierea modelelor matematice este rezolvarea aproximativă a problelmelor, elaborarea schemelor de calcul a metodelor Analizei numerice cît şi realizarea lor la calculator.

Conţinutul programului

Matematica fundamentală

1. Spaţii metrice şi topologice

   Mulţimi închise şi deschise. Spaţii metrice complete şi completarea lor pâna la cele complete. Aplicaţii continue în spaţii metrice. Principiul aplicaţiilor de contracţie şi aplicaţiile lui (teorema punctului fix). Noţiuni de spaţii topologice. Spaţii metrice compacte.

2. Spaţii liniare normate

   Spaţii liniare. Spaţii liniare normate. Mulţimi convexe. Spaţii euclidiene şi spaţii Hilbert. Baze ortogonale, sisteme ortogonale închise. Teorema lui Riesz-Fisher.

3. Funcţionale şi operatori liniari

   Funcţionale liniare continue definite în spaţii normate şi teorema Han-Banach. Spaţiul conjugat. Convergenţa slabă. Noţiuni despre funcţii generalizate. Operatori liniari continui. Inversabilitatea. Operatori conjugaţi. Operatori adjuncţi în spaţiile euclidiene şi operatori autoadjucţi. Operatori compacţi şi proprietăţile lor spectrale. Operatori autoadjucţi în spaţiile Hilbert. Spectrul operatorului. Rezolvanta.

4. Ecuaţii liniare integrale de genul I şi II

   Ecuaţii cu nucleu continuu. Rezolvanta. Alternativa Fredholm. Clasificarea ecuaţiilor integrale. Operatorul Fredholm. Ecuaţii cu nucleu simetric. Teoremele lui Fredholm. Ecuaţiile lui Volterra. Ecuaţii cu singularitatea slabă. Ecuaţii singulare unidimensionale. Condiţii de existenţă şi unicitate a soluţiei. Indicele funcţiei. Proprietăţi. Factorizarea funcţiilor.

5. Problemele fizicii matematice

   Modele matematice în acustică, electrostatică, teoria conductibilităţii căldurii, dinamică, teoria elasticităţii şi dinamica gazelor. Ecuaţiile de bază ale fizicii matematice. Clasificarea ecuaţiilor diferenţiale de ordinul II. Formularea problemelor tipice pentru aceste ecuaţii. Probleme de frontieră pentru ecuaţiile Poisson. Principiul de maxim. Soluţii fundamentale. Problema mixtă pentru ecuaţii de tip parabolic şi hiperbolic. Metoda separării variabilelor. Problema valorilor proprii. Noţiuni despre soluţii generalizate. Principii variaţionale ale fizicii matematice.

6. Teoria generală a metodelor aproximative
   1. Metode iterative pentru ecuaţii de speţa I.
   2. Metode proiecţionale de rezolvare aproximativă a ecuaţiilor de speţa II.
   3. Teoreme generale referitor la convergenţa metodelor proiecţionale.
   4. Metode proiecţionale în problema valorilor proprii.

Metode numerice

1. Integrarea numerică

   Formulele de cuadraturi şi optimizarea cuadraturilor. Optimizarea repartizării nodurilor la cuadraturi. Estimarea erorii la integrarea numerică multiplă. Formule de cuadraturi cu noduri aliatoare. Calcularea integralelor in cazuri neregulate (metoda vîrtejilor discreţi de tip interpolar). Principii de alcătuire a programelor standard la integrarea numerică.

2. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale ordinare

   Scheme în diferenţe la rezolvarea problemei Cauchy. Estimarea erorii. Ecuaţii în diferenţe. Schema omogenă în diferenţe. Convergenţa în cazul coeficienţilor continui şi discontinui. Reţea neuniformă. Stabilitatea dictată de coeficienţi. Metode de rezolvare a problemelor de frontieră pentru ecuaţii de ordinul întâi.

3. Metode în diferenţe la rezolvarea ecuaţiilor fizicii matematice

   Noţiuni fundamentale a teoriei schemelor în diferenţe (aproximarea, stabilitatea, convergenta). Metoda de construire a schemelor în diferenţe (metoda integro-interpolară, metode în diferenţe variaţionale şi proiecţionale). Metode în diferenţe de rezolvare a problemelor de frontiera pentru ecuaţii de tip eliptic. Estimarea ordinului exactităţii. Metode în diferenţe la rezolvarea ecuaţii de tip parabolic şi hiperbolic.

4. Metode de rezolvare a ecuaţiilor în diferenţe

   Metode directe (metoda parcurgerii, decompoziţiei, separării variabilelor). Metode iterative în două straturi. Alegerea optimală a parametrilor Cebîsev şi stabilirea numerică a procesului iterativ. Scheme implicite. Noţiuni despre metoda permutării la limita. Metoda iterativă în trei straturi. Metode iterative de tip variaţional. Ecuaţii neliniare. Metoda lui Newton.

5. Aproximarea funcţiilor de variabila complexă pe circumferinţa unitate

   Interpolarea funcţiilor. Constantele de interpolare Lebesque. Norma operatorului de interpolare în spaţiile funcţiilor continui ( C ), în scara spaţiilor Hölder ( HB) şi în spaţiile Lebesque(Lp). Trunchierea funcţiilor. Teoremele de aproximare. Splin-aproximarea.

6. Rezolvarea numerica a ecuaţiilor integrale

   Metode de colocaţii, cuadraturi, trunchiere, splin-colocaţii, Bubnov-Galerkin, pătratele minimale, vîrtejilor discreţi. Elaborarea algoritmilor şi fundamentarea lor teoretică în spaţiile Hölder şi Lebesque.

7. Rezolvarea problemelor necorecte

   Probleme corecte şi necorecte. Regularitatea problemelor incorecte. Construirea operatorului de regularitate cu ajutorul funcţionalului atenuat. Aplicarea metodei de regularizare la rezolvarea ecuaţiilor integrale de speţa I şi la rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare slab condiţionate.

8. Teoria generala a metodelor numerice aproximative

   Aproximarea ecuaţiilor din spaţii infinite in spatii finit-dimensionale. Teoremele de convergenţă. Noţiuni de stabilitate a metodelor numerice. Aplicaţii la probleme concrete.

9. Calculul variaţional şi Controlul optimal

   Problema de bază a calculului variaţional. Condiţii necesare de minim slab de ordinul întâi. Aplicaţii ale variaţiei a doua. Principiul de maximum Pontreaghin. Problema controlului optimal. Aplicaţii ale principiului de maximum la rezolvarea problemelor.

Literatura de specialitate

1. BahvalovN.S."Cislennîe metodî. Moskova: Nauka. 1986.-644 p.
2. Beloţercovskii S.M., Lifanov I.C. “Cislennîe metodî v singulearnîh integralinîh uravneniah”. Moskova: Nauka. 1989.-256 p.
3. Kantorovici L.V., Achilov G.P. “Funcţionalinîi analiz”. Moskova: Nauka. 1977.-744 p.
4. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. “Elemnetî teorii funcţii i funcţionalinogo analiza”. Moskova: Nauka. 1983.-544 p.
5. Krasnoseliskii M.A., Vainikko G.M., Zabreiko P.P., Rutiţkii I.V., Steţenko V.I. “Priblijionnoe re ;enie operatorin]h uravnenii”. Moskova: Nauka. 1969.-456 p.
6. Gavurin N.P. “Lecţii po metodam vîcislenii”. Moskova: Nauka. 1981.-208 p.
7. Cohberg I.Ţ., Crupnic N.Y. “Vvedenie v teorii odnomernîh singulearnîh operatorov”. Chişinău : Ştiinţa, 1973.-248 p.
8. Pontreaghin L.S. ”Matematicescaia teoria optimalinîh proţesov “. Moskova: Nauka. 1976.
9. Lifanov I.K. “Metod singulearnîh integralinîh uravnenii i cislenîi experiment”. Moskova: Nauka. 1995.-520 p.
10. Marciuk G.I. “Metodî vîceslitelinoi matematiki”. Moskova: Nauka. 1989.-608 p.
11. Micula Gh., Micula S. “Handbook of Splines”. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht/Boston/London, 1999.-606 p.
12. iesz F., Bela Sz.-Nagy. “Lecţii po funcţionalinomu analizu”. Moskva: Mir, 1979-592 p.
13. Tihinov A.N., Samarskii A.A. “Uravnenia matimaticescoi fiziki”. Moskova: Nauka. 1977.-734 p.
14. Samarskii A.A. “Teoria raznostnîh shem”. Moskova: Nauka. 1983.-616 p.
15. Tihinov A.N. “Metodî reşenia necorectnîh zadaci”. Moskova: Nauka. 1986.-288 p.

Bibliografie suplimentară

1. Vulîh B.Z. “Vvedenie v funcţionalinîi analiz”. Moskova: Nauka. 1958.-348 p.
2. Vladimirov V.S. “Uravnenia matematicescoi fiyiki “.”. Moskova: Nauka. 1988.-512 p.
3. Zolotarevsci V.A. ”Conecinomernîe metodî reşenia singulearnăh integralinăh uravnenii na zamcnutîh conturah integrirovania”. Chişinău: Ştiinţa, 1991.-136 p.
4. Zolotarevsci V.A. ”Metode aproxiamtive de rezolvare a ecuaţiilor integrale singulare pe circumferinţa unitate”. Chişinău: Ştiinţa, 1997.-148 p.
5. Secrieru G., Secrieru I. “Analiza numerică”. Chişinău: Ştiinţa, 1985.-206 p.
6. Secrieru I., Râbacova G. “Analiza numerică în probleme şi exemple”. CE USM, Chişinău: 2003-75 p.
7. Buslaev V.S. Variaţionnoe vîceslenie, I zd. Leningrad, Universitet, 1980