Cuvinte Cheie
Spațiu omogen, spațiu Riemanian, geometrie Klein, metrică proiectivă, geometrie analitică
Adnotare
Teza este scrisă în engleză și constă din: introducere, trei capitole, concluzii generale și recomandări,
apendice, bibliografie din 210 de titluri, 140 de pagini de text de bază, 27 de figuri, 9
algoritmi, 5 tabele. Rezultatele obținute sunt publicate în 9 lucrări științifice.
Domeniul de studii: Geometria spațiilor omogene.
Scopul și obiectivele tezei: Scopul cercetării este să se ofere un instrument, care poate fi
folosit pentru a studia spații omogene în limbajul algebrei lineare. Obiectivele sunt: argumentarea
conceptului de signatură, pe baza lui, construirea spațiilor omogene, construirea modelului
spațiului omogen cu signatura dată, expresia măsurării cantităților geometrice via signatura, aplicațiile
geometriei analitice a spațiilor omogene.
Noutatea științifică a rezultatelor obținute:
• Geometria analitică este dezvoltată folosind limbajul algebrei lineare, chiar și pentru spații
nelineare.
• Este dezvoltată o teorie universală, în care elementele signaturii spațiului sunt parametri.
Problema științifică importantă soluționată: Cercetarea spațiilor omogene prin metode
lineare, aplicând conceptul de signatură.
Semnificația teoretică și valoarea aplicativă a tezei: Rezultatele prezentate în teză sunt
noi, au un caracter teoretic și cu ajutorul conceptului de signatură prezintă o teorie generală a
spațiilor omogene.
Implementarea rezultatelor:
• Rezultate noi pot fi folosite în investigarea problemelor în geometria diferențială, în fizica
teoretică și în alte domenii unde poate fi aplicat conceptul de signatură în sensul dat.
• Teza poate fi folosită în calitate de suport pentru cursurile opționale universitate și postuniversitare.
Cuprins
1. ANALYSIS OF SITUATION IN DOMAIN OF HOMOGENEOUS SPACES
- 1.1. The main definitions and notions
- 1.2. Definition and classification of the homogeneous spaces
- 1.3. Space duality
- 1.4. Short history of non–Euclidean geometry
- 1.5. The present state in the geometry of homogeneous spaces
- 1.6. The axiomatic method and the modelling methods
- 1.7. The main results of the thesis
- 1.8. Domains to which this thesis makes a contribution
- 1.9. Conclusions of chapter 1
2. ANALYTIC GEOMETRY
- 2.1. Types of lines, distances and angles
- 2.1.1. Definition and type of generalized rotations
- 2.1.2. Generalized trigonometric functions
- 2.1.3. Translation defined as metarotation. Its type
- 2.1.4. Sequence of unconnectable points
- 2.2. Homogeneous Space Model
- 2.2.1. Meta product of vectors. Invariant biliniar form
- 2.2.2. Space definition by signature
- 2.2.3. Definition of measure using motions
- 2.3. Relations in Triangle
- 2.3.1. Triangle equations
- 2.3.2. Triangle inequations
- 2.3.3. Right triangle equations
- 2.3.4. Properties of figures and properties of spaces
- 2.4. Motion
- 2.4.1. Multiplication of types
- 2.4.2. Vector index. Natural product of vectors
- 2.4.3. Generalized orthogonal matrix
- 2.4.4. GM-orthogonal matrix decomposition in product of rotations
- 2.4.5. Equivalence of coordinate axes
- 2.5. Lineal
- 2.5.1. Planes and lineals. Their signature
- 2.5.2. Projection of vector on lineal and on its orthogonal complement
- 2.5.3. Orthonormalization of the vector family
- 2.5.4. Completion of the orthonormal vector family
- 2.5.5. Basis change of the lineal. Canonical form of the lineal
- 2.6. Limit Vectors and Lineals
- 2.6.1. Limit vectors. Their decomposition vectors
- 2.6.2. Type of the limit vector
- 2.6.3. Measure of the limit vector
- 2.6.4. Orthogonalization of the limit vectors
- 2.6.5. Limit lineals. Double index of limit vector
- 2.6.6. Signature of the limit lineal
- 2.7. Constructions and Calculus
- 2.7.1. Midpoint of a segment and center of gravity of a triangle
- 2.7.2. Sum, intersection and difference of lineals
- 2.7.3. Coordinate matrix and state matrix
- 2.7.4. Measure between lineals
- 2.8. Volume
- 2.8.1. Area of the right triangle on linear planes
- 2.8.2. Area of the right triangle on non-linear planes
- 2.8.3. Area of the right triangle
- 2.8.4. Type of the area
- 2.8.5. Other equations of area of the right triangle
- 2.9. Conclusions of chapter 2
3. APPLICATION OF THEORY
- 3.1. Algebraic geometry
- 3.1.1. Signature of a space and a lineal
- 3.1.2. Signature of semi–Euclidean and semi–Riemannian spaces
- 3.1.3. Signature of the subspaces product
- 3.1.4. Examples of crystallographic groups on homogeneous planes
- 3.2. Topology
- 3.2.1. Separability of the points on a line
- 3.2.2. Neighborhood notion generalization
- 3.2.3. Hausdorff spaces
- 3.2.4. Examples of homogeneous manifolds
- 3.3. Differential Geometry
- 3.3.1. Geodesic as the shortest or the longest path
- 3.4. Conclusions of chapter 3
4. GENERAL CONCLUSIONS AND RECOMMЕNDATIONS