Алгебры Ли и инвариантные интегралы для полиномиальных дифференциальных систем
|
СтатусДиссертация была зашищена 25 июля 2008Утверждена Национальным Советом 18 сентября 2008 Автореферат – 0.47 Mb / на румынскомДиссертацияCZU 517.925
|
Ключевые слова
Алгебры Ли операторов; инварианты, смешанные комитанты, контраварианты и коварианты n-мерных дифференциальных систем; инвариантный GL(n,R)-интеграл; функциональный базис центроаффинных инвариантов и комитантов; интегрирующий множитель дифференциальной системы; дифференциальная система типа Дарбу; первые и частные интегралы.Аннотация
В диссертации рассматривается система дифференциальных уравнений , (1) где коэффициентные тензоры симметричны по нижним индексам, по которым здесь производится полное свертывание (суммирование), - некоторое конечное множество целых различных неотрицательных чисел. Если , то в этом случае будем считать, что система (1) содержит свободные члены . Так как система (1) вполне определяется числом n и множеством , то в дальнейшем будем ее обозначать через .
Работа посвящена приложению алгебр Ли операторов и теории алгебраических инвариантов к дифференциальным системам . Рассматривается бесконечномерная алгебра Ли операторов допускаемая системой и показано, что она имеет в качестве подалгебры конечномерную алгебру Ли, соответствующую представлению центроаффинной группы GL(n,R) в пространстве фазовых переменных и коэффициентов указанной системы. Обобщена теорема Ли об интегрирующем множителе на n-мерные полиномиальные дифференциальные системы. Построены рекуррентные формулы операторов Ли, соответствующие однопараметрическим элементарным подгруппам группы GL(n,R) в пространствах переменных и коэффициентов системы . Установлен функциональный базис смешанных комитантов для системы относительно группы GL(4,R) . Установлены нереализуемые размерности GL(n,R) -орбит для систем при n=4,5, а также построены алгебры Ли операторов допускаемые некоторыми каноническими формами указанных систем. Построена n2-мерная алгебра Ли операторов, соответствующая представлению группы GL(n,R) в пространствах фазовых переменных и коэффициентов системы при n=4,5 и исследованы некоторые ее характеристики при n=4. С помощью алгебр Ли операторов, допускаемыми системами при m= типа Дарбу были построены инвариантные GL(2,R) -интегрирующие множители и инвариантые частные GL(2,R) -интегралы, которые в определенных случаях являются предельными циклами для некоторых систем. Показано, что класс двумерных полиномиальных дифференциальных систем (m>2), имеющий в качестве центроаффинно-инвариантного квадратичного интеграла, выражение K2=0 является шире класса систем типа Дарбу, обладающих этим свойством. При этом, полученные центроаффинно-инвариантные условия, гарантирующие это свойство, является необходимыми и достаточными условиями.
Рассмотрены некоторые инвариантные GL(n,R) -интегралы аффинных систем при n=4,5. Для систем (n>2) типа Дарбу выявлены рекуррентные формулы некоторых инвариантных GL(n,R) интегралов. Рассмотрена система и приведены инвариантные GL(3,R) -интегралы для нее. Для этой же системы выделены примеры систем, когда частные интегралы имеют форму эллипсоида или сферы. Изучены системы при n=4,5, при n=3,4 и на предмет построения инвариантных частных интегралов для них.
Содержание
- 1. Определение алгебры Ли операторов и ее типов
- 2. Основная алгебра Ли операторов, допускаемая полиномиальной дифференциальной системой
- 3. GL(n,R) -орбиты для полиномиальных дифференциальных систем
- 4. Теорема Ли об интегрирующем множителе для n-мерных полиномиальных дифференциальных систем
- 5. Операторы представления элементарных групп преобразований в пространстве переменных и коэффициентов системы при n=4,5
- 6. Функциональный базис смешанных комитантов для четырехмерной аффинной дифференциальной системы
- 7. Рекуррентные формулы операторов представления элементарных групп преобразований в пространстве E3n+n (x,a,u) для системы
- 8. Нереализуемые размерности GL(n,R) -орбит для систем при n=4,5
- 9. Алгебры Ли операторов допускаемые каноническими формами дифференциальных систем при n=4,
- 10. Алгебра Ли операторов L16 допускаемой четырехмерной аффинной системой
- и некоторые ее характеристики (форма Киллинга, тип алгебры Ли L16,
- специальные подалгебры Ли L9)
- 11. Комментарий к первой главе
Глава 2. Алгебры Ли операторов для систем типа Дарбу и инвариантные GL(2,R) -интегралы. Об одном расширении систем типа Дарбу
- 12. Об алгебраических интегралах системы типа Дарбу с нелинейностями m-го порядка
- 13. Алгебраические инвариантные GL(2,R) -интегралы системы типа Дарбу с
- нелинейностями 2-й и 3-й степеней
- 14. Алгебраические инвариантные GL(2,R) -интегралы системы типа Дарбу с
- нелинейностями 4-й и 5-й степеней
- 15. Алгебраические инвариантные GL(2,R) -интегралы системы типа Дарбу с
- нелинейностями 6-й и 7-й степеней
- 16. Первые интегралы дифференциальной системы типа Дарбу с нелинейностями m-го порядка m= и проблема предельных циклов
- 17. Центроаффинно-инвариантные условия наличия предельного цикла для систем и типа Дарбу
- 18. Нелинейные дифференциальные системы с центроаффинно-инвариантным квадратичным интегралом
- 19. Комментарий ко второй главе
Глава 3. Инвариантные GL(n,R) -интегралы для аффинных систем и системы типа Дарбу (n≥3)
- 20. Инвариантные GL(n,R) -интегралы для дифференциальных систем при n=4,5
- 21. Многомерные дифференциальные системы типа Дарбу с квадратичными нелинейностями и рекуррентные формулы инвариантных GL(n,R) -интегралов
- 22. Дифференциальная система типа Дарбу и инвариантные частные GL(3,R) -интегралы
- 23. Дифференциальные системы и типа Дарбу
- 24. Дифференциальные системы и типа Дарбу
- 25. Дифференциальная система типа Дарбу
- 26. Об одной связи коммитанта 3,3 и контраварианта 4 для системы
- 27. Примеры систем типа Дарбу при 3,3 ≡0, имеющие эллипсоидальные поверхности в качестве интегралов
- 28. Примеры систем типа Дарбу при 3,3 0, имеющие эллипсоидальные и сферические поверхности в качестве интегралов
- 29. Комментарий к третьей главе
Официальные оппоненты
- Dumitru Cozma
доктор хабилитат, доцент - Anton P. Sadovskii,
doctor habilitat în ştiinţe fizico-matematice, profesor universitar, Minsk, Belarus
Члены Ученого Совета
- Nicolae Jitaraşu, председатель
доктор хабилитат, профессор - Valeriu Guţu, секретарь
доктор, доцент - Alexandru Şubă, член
доктор хабилитат, профессор, Тираспольский государственный университет - Nicolae Vulpe, член
доктор хабилитат, профессор, Институт математики и информатики - Boris Scerbacov, член
доктор хабилитат, профессор
Диссертации
