Символы некоторых алгебр сингулярных интегральных операторови задачи регуляризации
|
СтатусДиссертация была зашищена 29 ноября 2004Утверждена Национальным Советом 23 декабря 2004 Автореферат – 0.19 Mb / на румынском |
Аннотация
Диссертация посвящена следующим задачам теории сингулярных интегральных операторов (с.и.о.): построению символа с.и.о со сдвигом и комплексным сопряжением в случае кусочно-непрерывных коэффициентов; установлению условий Lp нётеровости и формулы для вычисления индекса с.и.о. со сдвигом Карлемана и комплексным сопряжением, регуляризации с.и.о со сдвигом и комплексным сопряжением.
Для решения этих задач изучены банаховы алгебры (некоммутативные), порожденные с.и.о. со сдвигом и комплексным сопряжением. Вводится понятие эквивалентности двух банаховых алгебр. Доказывается, что алгебра операторов со сдвигом или комплексным сопряжением эквивалентна алгебре с.и.о., не содержащих операторы сдвига и комплексного сопряжения. Была получена форма символа в зависимости от пространства, от коэффициентов оператора и от контура интегрирования. Показано, что символ представляет собой функциональную матрицу второго порядка, определенную на R × Γ и он не зависит от представления оператора в виде суммы произведения операторов из данной алгебры. Показано также как определяются символы операторов замыкания алгебры. Таким образом, решена задача расширения символа. В результате изучения этих алгебр были доказаны теоремы Нётера для с.и.о. со сдвигом и комплексным сопряжением и получена формула для вычисления индекса нетеровых операторов. Были установлены условия нётеровости с помощью регуляризации с.и.о. со сдвигом. Найдены условия, при которых с.и.о. со сдвигом или комплексным сопряжением допускают эквивалентную регуляризацию: эти условия выражаются через индекс определителя символа. Рассмотрена задача спектра и решения некоторых сингулярных интегральных уравнений методом прямой факторизации и методом сведения данного уравнения к системе сингулярных уравнений, которая может быть решена методом факторизации.
Результаты, полученные в диссертации могут быть применены для дальнейшего исследования интегральных уравнений, порожденных с.и.о. со сдвигом и комплексным сопряжением. Метод построения матричного символа некоммутативных алгебр с.и.о., разработанный в диссертации может быть применён при исследовании более общих операторов: с.и.о., содержащих конечное число инволютивных операторов, а также при изучении обобщённых задач Римана для аналитических функций.
Диссертация написана на румынском языке.
Официальные оппоненты
- Piotr Dovbuş
доктор хабилитат, доцент - Nicolaie Ia. Tihonenko
doctor habilitat în ştiinţe fizico-matematice, profesor universitar, Ucraina
Диссертации
