Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами
|
СтатусДиссертация была зашищена 9 апреля 2008Утверждена Национальным Советом 19 июня 2008 Автореферат – 0.26 Mb / на румынскомДиссертацияCZU 519.8:519.6
|
Ключевые слова
сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши, прямые методы, разрывные коэффициенты, линеал сходимости оператора, локальные принципы, условия нётеровости, вычислительная сложность, быстрое преобразование ФурьеАннотация
Основной целью диссертации является разработка и теоретическое обоснование прямых методов приближённого решения одномерных сингулярных интегральных уравнений (СИУ) и их систем с коэффициентами, имеющими разрывы первого рода на контуре интегрирования.
Предложены вычислительные схемы методов коллокаций, механических квадратур и редукции для решения полных СИУ, заданных на единичной окружности комплексной плоскости. Эти схемы получены для уравнений с непрерывным ядром в регулярной части, а также для уравнений, регулярные ядра которых содержат слабо сингулярные особенности. Доказаны теоремы о разрешимости вычислительных схем этих методов и о сходимости соответствующих приближённых решений к точному решению по норме пространства Лебега . Отдельно рассмотрены случаи конечного числа и счётного множества точек разрыва. Полученные результаты обобщаются для систем СИУ, и используемая при этом методика существенно отличается от методики для случая одного уравнения. Доказано, что предложенные вычислительные схемы устойчивы относительно малых возмущений коэффициентов, ядра и правой части, а числа обусловленности вычислительных схем близки к числам обусловленности рассматриваемых уравнений.
Предлагается эффективный метод приближённого решения СИУ, который совмещает алгоритмы метода механических квадратур и быстрого преобразования Фурье. Показано, что соответствующий алгоритм является существенно более экономичным в смысле объёма вычислений по сравнению с методом коллокаций или методом механических квадратур. Обоснована оптимальная асимптотическая оценка скорости сходимости в шкале пространств Соболева. Также выделен класс итерационных алгоритмов для решения систем уравнений, получающихся при дискретизации СИУ с разрывными коэффициентами. Эти алгоритмы позволяют уменьшить вычислительные затраты для нахождения приближённого решения, не теряя при этом в качестве других численных характеристик (они численно устойчивы и позволяют проверять точность по ходу итераций без надобности вычисления аппроксимации решения). Для конкретной задачи из теории упругости получено моделирующее СИУ, которое было численно решено при помощи разработанных алгоритмов. Используя язык программирования С++ и систему MATLAB, получены графические представления исследованного процесса.
Официальные оппоненты
- Gheorghe Moraru
доктор хабилитат, профессор, Технический Университет Молдовы - Vladislav Seiciuc
доктор, доцент, Государственный Университет Молдовы
Диссертации
