CNAA Comisia de atestare Comisia de acreditare Comisiile de experţi Dispoziţii, instrucţiuni Acte normative

PREGĂTIREA CADRELOR Nomenclator Instituţii Consilii Seminare Teze

POTENŢIALUL ŞTIINŢIFIC Conducători de doctorat Deţinători de grad Doctoranzi Postdoctoranzi

 română | русский | english

Recomandări metodice generale

Programa urmăreşte scopul de a consolida pregătirea teoretică a doctoranzilor şi de a le furniza metode fundamentale de cercetare în domeniul analizei matematice. Însuşirea programei presupune formarea gândirii moderne necesare procesului de achiziţionare, prelucrare şi generalizare a cunoştinţelor din domeniul ales pentru cercetare.

Conţinutul cursului

Teoria funcţiilor de o variabilă reală

Cuvinte cheie: măsură, algebra de mulţimi, funcţii măsurabile, integrala Lebesgue, integrala Stieltjes, serii trigonometrice, integrale singulare.

• Măsura, funcţii măsurabile, integrala.
  Algebre şi σ - algebre de mulţimi. Funcţii aditive şi σ - aditive de mulţimi. Definiţia măsurii. Spaţii cu măsura. Extinderea funcţiilor σ - aditive pâna la măsuri. Extensia Lebesgue a unei măsuri. Măsura pe spaţii produs (măsura produs). Măsura Lebesgue - Stieltjes. Măsura Borel. Funcţii măsurabile. Şiruri de funcţii măsurabile. Convergenţa in măsura. Teoremele Lebesgue, Riesz şi Egorov. Structura funcţiilor măsurabile. Teoremele Borel, Frechet şi Luzin. Integrala Lebesgue. Proprietăţile fundamentale ale integralei. Trecerea la limită sub semnul integralei. Teoremele Fatou, Levi, Lebesgue. Compararea integralelor Riemman si Lebesgue.

• Funcţii cu variaţie finită. Integrala Stieltjes.
  Funcţii monotone. Discontinuităţile funcţiilor monotone. Funcţia salturilor. Reprezentarea funcţiei monotone sub forma sumei dintre funcţia ei de salturi şi o funcţie monotonă continuă. Derivarea unei funcţii monotone. Funcţii cu variaţie finită. Principiul alegerii al lui Helly. Funcţii continue cu variaţie finită. Funcţii absolut continue. Proprietăţi diferenţiale ale funcţiilor absolut continue. Integrala Lebesgue nedefinită. Variaţia totală a integralei nedefinite. Calculul funcţiei primitive. Funcţii primitive. Funcţii singulare. Descompunerea Lebesgue a unei funcţii cu variaţie finită. Integrala Lebesgue-Stieltjes. Integrabilitatea Riemann-Stieltjes. Trecerea la limită sub semnul integralei Stieltjes.

• Spaţii de clase de funcţii măsurabile.
  Funcţii de putere integrabile (in raport cu o măsura arbitrară) şi funcţii măsurabile esenţial mărginite. Inegalitaţile lui Hölder şi Minkovski. Spaţiile Lebesgue L_p (X, A, µ) (1≤p<∞) şi spaţiile Day L_p (X, µ) (0<p<1). Mulţimi dense în spaţiile. Criteriul de separabilitate. Completitudinea spaţiilor.

• Serii trigonometrice. Integrale singulare.
  Problema convergenţei seriei trigonometrice. Integrala singulară a lui Dirichlet. Problema sumării seriei în sensul lui Cesaro. Integrala singulară a lui Fejer. Reprezentarea unei funcţii printr-o integrală singulară. Aplicaţii în teoria seriilor Fourier. Teoremele Dirichlet-Lebesgue, Fejer-Lebesgue si Luzin-Denjoy despre convergenţa seriei trigonometrice pe o mulţime de măsură pozitivă.

Teoria funcţiilor de o variabilă complexă

Cuvinte cheie: funcţii olomorfe, funcţii meromorfe, puncte singulare, reziduuri, aplicaţii conforme, suprafaţă riemanniană.

• Funcţii olomorfe.
  Reprezentarea integrală. Funcţii olomorfe. Teorema fundamentală Caushy-Morera-Goursat. Regularitatea funcţiilor olomorfe. Formula valorilor medii. Principiul maximului modulului. Lema lui Schwartz. Integrala singulară cu nucleu Cauchy. Formulele Plemely-Sohotski. Formulele lui Poincare şi Bertrand referitoare la schimbul ordinii de integrare.

• Serii de funcţii olomorfe. Puncte singulare. Reziduuri.
  Teorema de convergenţă a lui Weierstrass. Teorema de compacitate a lui Montel. Serii de puteri si analiticitatea sumeilor lor. Dezvoltarea în serie Taylor a unei funcţii olomorfe. Dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei olomorfe pe o coroană circulară. Inegalităţile lui Cauchy. Zerourile funcţiilor analitice. Teorema despre unicitatea funcţiei analitice. Puncte singulare pentru funcţii olomorfe. Funcţii meromorfe. Reziduuri. Teorema fundamentală Cauchy a teoriei reziduurilor. Aplicaţii ale teoremei Cauchy la calculul unor clase de integrale definite. Principiul argumentului. Teorema Rouche. Teorema Runge despre aproximarea funcţiilor analitice cu polinoame.

• Funcţii întregi.
  Genul şi ordinul unei funcţii întreagă. Produsul canonic al lui Weierstrass. Teorema de existenţa. Funcţii întregi de ordin finit. Teorema lui Hadamard. Teorema Mittag-Lefler despre funcţii meromorfe cu polurile şi partea principală date.

• Aplicaţii conforme.
  Conformitatea funcţiilor elementare. Proprietăţile transformărilor omografice. Teorema lui Riemann despre echivalenţa conformă a domeniilor. Principiul simetriei. Teoremele lui Caratheodory şi Riemann-Schwartz.

• Prelungire analitică.
  Noţiune de suprafaţă riemanniană. Elemente de funcţie analitică. Funcţie analitică globală. Prelungirea analitică directă şi în lanţ. Puncte singulare izolate pentru funcţii analitice. Puncte singulare algebrice şi transcendente. Transformarea poligoanelor. Formula Christoffel-Schwarz. Teoremele lui Picard.

Analiza funcţională

Cuvinte cheie: spaţii topologice, spaţiu cât, operatori continui, funcţionale liniare, spaţii Hilbert, spaţii Banach, algebre Banach, ideale bilaterale, distribuţii.

• Elemente de topologie generală. Definiţia topologiei. Sisteme fundamentale de vecinatăţi. Interior, aderentă, frontieră. Mulţimi dense. Convergenţa în spaţiile topologice. Funcţii continue. Compararea topologiilor. Topologii iniţiale şi finale. Compacticitatea în spaţii topologice. Topologia spaţiilor metrice. Spaţii metrice complete şi teoremele lui Baire. Compacticitatea în spaţii metrice.

• Spaţii liniare topologice. Definiţia şi caracterizarea spaţiilor liniare topologice. Subspaţiu, spaţiu cât, produse şi sume directe de spaţii liniare topologice. Seminorme. Topologii definite de seminorme. Spaţii local convexe. Completitudenea în spaţii liniare topologice. Mulţimi mărginite şi mulţimi compacte în spaţii liniar topologice. Spaţii liniare topologice metrizabile. Spaţii Frechet şi Banach. Spaţii liniar topologice de dimensiune algebrică finită. Limite inductive si proiective.

• Funcţionale liniare şi teorema Hahn-Banach. Funcţionale liniare şi hiperplane. Prelungirea funcţionalelor liniare. Teorema Hahn-Banach. Existenţa funcţionalelor liniare continue. Puncte exstremale şi separarea mulţimelor convexe. Teorema Krein-Milmann.

• Operatori continui. Spaţii de operatori liniari continui. Operatori liniari continui între spaţii liniare topologice. Spaţii de operatori liniari. Topologii pe spaţiul operatorilor liniari continui. Aplicaţii deschise si închise. Teorema aplicaţiei deschise şi principiul graficului închis. Mulţimi echicontinuie de operatori liniari. Principiul marginii uniforme şi teorema Banach-Steinhaus. Operatori biliniari. Continuitatea operatorilor biliniari. Sisteme duale şi topologii slabe. Spaţiul dual. Topologii slabe în duale. Mulţimi mărginite în topologia slabită. Topologia tare în spaţiul dual. Bidualul. Scufundarea în bidual. Noţiunele de spaţii semirefelexive şi reflexive. Spaţii normate reflexive. Forma generală a funcţionalelor liniare şi continue pe anumite spaţii concrete. Dualele spaţiilor Lebesgue (1<p<), funcţiilor continue pe un compact etc. Operatori adjuncţi.

• Spaţii Hilbert. Definiţia şi caracterizarea spaţiilor prehilbertiene şi hilbertiene. Descompuneri ortogonale şi sume ortogonale. Funcţionale liniare şi biliniare pe spaţii Hilbert. Convergenţa slabă. Dualul spaţiului Hilbert. Familii ortonormale. Serii Fourier. Inegalitatea lui Bassel. Relaţia lui Parseval. Spaţii Hilbert separabile.

• Operatori liniari în spaţii Banach. Operatori liniari mărginiţi. Spaţiul de operatori liniari mărginiţi. Algebre Banach de operatori mărginiţi. Operatori închişi şi operatori ce admit închidere. Operatori diferenţiali. Rezolvanta şi spectrul unui operator liniar. Proprietăţi al operatorului rezolvant. Clasificarea spectrului. Raza spectrală a unui operator. Calculul operaţional (cazurile operatorilor mărginiţi şi nemărginiţi). Puteri de operatori cu exponenţi fracţionari. Funcţia exponenţială, grupuri şi semigrupuri de operatori. Operatori compacţi (complet continui). Spaţiul operatorilor compacţi. Operatori nucleari. Conjugatul unui operator compact. Teorema Schauder. Ecuaţii cu operatori compacţi. Spectrul operatorului compact. Teoria Riesz-Schauder. Ecuaţii integrale de tip Fredholm. Ecuaţii Voltera. Metoda iterativă de rezolvare a ecuaţiilor integrale. Metoda Fredholm. Determinanţii Fredholm. Puncte fixe pentru operatori liniari şi continui. Operatori normali rezolvabili şi operatori de tip Fredholm şi Noether. Regularizarea operatorilor noetherieni. Teoremele lui S.Nikolski.

• Operatori liniari în spaţii Hilbert. Operatori mărginiţi pe spaţii Hilbert. Adjunctul unui operator mărginit. Operatori unitari. Operatori autoadjuncţi şi mărginiţi. Proiectori ortogonali. Operatori parţial izometrici. Operatori simetrici şi autoadjuncţi. Transformarea Cayley. Extinderea operatorilor simetrici şi izometrici. Formulele lui Von Neumann. Extinderea operatorilor semimărginiţi. Operatori normali. Rezolvanta şi spectrul unui operator autoadjunct. Reprezentări spectrale pentru operatori autoadjuncţi, unitari şi normali.

• Algebre Banach. Definiţia algebrei Banach. Exemple. Ideale. Ideale maximale. Algebre unitare. Algebre cât. Funcţii analitice cu valori în algebre Banach. Calculul funcţional. Rezolventa şi spectrul unui element. Raza spectrală. Topologii pe mulţimea idealelor maximale. Teorema Gelfand-Naimark despre izomorfismul algebrelor Banach. Corp Banach. Teorema Gelfand-Mazur. Algebra seriilor trigonometrice absolut convergente. Teorema Wiener.

• Distribuţii. Spaţii de funcţii care intervin în teoria distribuţiilor. Noţiunea de distribuţie. Exemple de distribuţii. Proprietaţi locale. Distribuţii cu suport compact. Distribuţii temperate. Derivarea distribuţiilor. Produsul direct a două distribuţii. Convoluţia a două distribuţii. Transformata Fourier a unei distribuţii temperate. Transformata Laplace a distribuţiilor. Existenţa soluţiilor fundamentale pentru operatori diferenţiali cu coeficienţi constanţi.

Literatura de specialitate

1. I.Cristescu, R.Cristescu ş.a. Dicţionar de analiză matematică. Ed. Bucureşti,1989.
2. I.Colojoara. Analiza matematică. Ed.didact.şi ped.Bucureşti, 1983.
3. I.Colojoara. Elemente de teorie spectrală. Ed.acad., Bucureşti, 1968.
4. G.R.Cristescu. Analiza funcţională. Ed.didact. şi ped., Bucureşti, 1983.
5. R.Cristescu. Elemente de analiză funcţională şi întroducere în teoria distribuţiilor. Ed.tehnică,Bucureşti, 1966.
6. R.Critescu. Spaţii liniare topologice. Ed.acad., Bucureşti, 1974.
7. N.Dinculescu. Integrarea pe spaţii local compacte. Ed.acad., Bucureşti, 1965.
8. D.Gaşpar. Analiza funcţională. Ed.Faclia. Timişoara,1981.
9. N.Gheorghiu. Introducere în analiza funcţională. Ed.acad., Bucureşti,1974.
10. A.Ghika. Analiza funcţională. Ed.acad. Bucureşti.,1967.
11. M.Nicolescu. Analiza matematică.v.1-3. Ed. Tehnica, Bucureşti, 1957, 1958, 1960.
12. T.Precupanu. Spaţii liniare topologice şi elemente de analiză convexă. Ed. acad. Române, Bucureşti, 1992.
13. Ahiezer N.I., Glazman I.M. Teoriia lineinîh operatorov v gilibertovom prostranstve. M., Nauka, 1966.
14. Burbaki N., Topologiceskie vectornâe prostranstva. I.L., 1959.
15. Funcţionalinîi analiz. Pod.obş.red. S.G.Kreina, M.Nauka, 1972.
16. Gelifand I.M.,Raicov, Şilov G.E.,Comutativnâe normirovanâe coliţa. Fizmatgiz. 1960.
17. Gohberg I.Ţ.,Krein M.G. Vvedenie v teoriiu lineinâh nesamosopreajennâh operatorov. M., Nauka, 1965.
18. Halmoş P.,Teoria merâ. M., IL, 1953.
19. Iosida K., Funcţionalinâi analiz. M.Mir., 1967.
20. Kato T., Teoriia vozmuşenii lineinâh operatorov. M.Mir, 1972.
21. Kolmogov A.N., Fomin S.V. Elementâ teorii funcţii i funcţionalinogo analiza. M., Nauka, 1968.
22. Marcuşevici A.I. Teoria analiticeskih funcţii. T.1 i T.2. M., Nauka, 1967 i 1968.
23. Moren K., Metodâ gilibertova prostranstva. M., Mir, 1965.
24. Naimarc M.A. Normirovannâe coliţa. M., Nauka, 1968.
25. Natanson N.P. Teoria funcţii veşestvennoi peremennoi. M., Nauka, 1974.
26. Rid M.,Saimon B. Metodî sovremennoi matematicescoi fizichi. t.1 Funcţionalinâi analiz. M., Mir, 1977.
27. Riss F., Seksfilivi-Nadi B. Lekţii po funcţionalinomu analizu. M., 1972.
28. Robertson A., Robertson B. Topologhiceskie vectornâe prostranstva. M., Mir, 1967.
29. Rudin Y. Ocnovâ matematicescogo analiza. M.Mir.1976.
30. Rudin Y. Funcţionalinâi analiz. M. Mir. 1975.
31. Şabat B.V. Vvedenie v compleksnâi analiz. M.Nauka. 1969.
32. Şefer H. Topologiceskie vectornâe prostranstva. M.,Mir,1971.
33. Vladimirov V.S. Obobşennâe funcţii v matematicescoi fizike. Nauka, 1979.
34. Zorici V.A. Matematiceskii analiz. ciasti 2. M., Nauka, 1984.

Bibliografie suplimentară

1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. ”Наука”, 1977.
2. Эдвардс Р. Функциональный анализ, теория и приложения.- ”Мир”, 1969.
3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т.I-II. ”Мир”, 1965.
4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Наука, 1968.
5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- 3-е издание, переработанное и дополненное. Наука, 1977.
6. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и её приложения. ”Наука”, 1967.
7. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М., 1977.
8. Крупник Н.Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы. “Штиинца”, 1984.
9. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, “Штиинца”, 1973.
10. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций, «Высшая школа», 1991.
11. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Изд-во Ростовского ун-та, 1988.
12. Rudin Y. Analiza reală şi complexă. Bucureşti, Theta_1999.

Specialitatea

01.01.01 – Analiză matematică