română | русский | english

Recomandări metodice generale

1. Cunoaşterea rezultatelor fundamentale în cadrul specialităţii;
2. Cunoaşterea stării actuale, a tendinţelor şi a perspectivelor de evoluţie a domeniului matematicii, la care se referă specialitatea dată;
3. Însuşirea metodelor moderne de cercetare ştiinţifică în domeniu;
4. Cunoasterea suficientă a rezultatelor şi a direcţiilor principale de dezvoltare a domeniilor adiacente specialităţii date.

Sfera de cunoştinţe şi spectrul de abilităţi profesionale:

• Cunoaşterea rezultatelor principale în domeniul algebrei, logicii matematice şi teoriei numerelor;
• Abilităţi de a efectua independent cercetări ştiinţifice în domeniul dat;
• Capacitatea de a sistematiza şi a expune rezultatele ştiinţifice în formă de rapoarte şi publicaţii ştiinţifice
• Cunoaşterea suficienta a bazelor domeniilor adiacente specialităţii date, ce asigură capacitatea de a stabili conexiuni între ele;
• Cunoaşterea metodelor moderne de colectare, pastrare şi prelucrare a informaţiei şi abilitatea de a le aplica în activitatea de cercetare.

Conţinutul cursului

Algebra

1. Teoremele lui Silow despre grupurile finite ([2], cap.7, par.4; [18], cap.2, par.6)
2. Simpleţea grupului altern şi a grupului rotaţiilor spaţiului 3-dimensional ([1], cap.7, par. 55;[21], cap.7, par.1, 3).
3. Grupuri libere. Teorema despre subgrupurile grupului liber. Relaţiile de definiţie: grupul diedral şi grupul cuaternionilor ([2], cap.7, par.3; [4], cap.5, par.1).
4. Radicalul inelului. Simpleţea inelului matriceal complet peste un corp. Produsul tensorial de algebre; simpleţea produsului tensorial ([1], cap.13; [4], cap.4, par.5,6).
5. Teorema despre structura inelelor semisimple şi simple cu condiţia minimalizării ([1], cap.13;[4], cap.4, par.6; [20], cap.2, par.3).
6. Grupul Brauer al unui câmp. Teorema lui Frobenius despre corpurile finit dimensionale peste câmpul numerelor reale ([1], cap.14, par.114; [4), cap.6, par.3, [19], cap.10, par.1,2).
7. Module şi inele noetheriene: teorema lui Hilbert despre bază ([1], cap.15, par.115; [3), partea 3, par.11; [4], cap.4, par.3; [18], cap.11, par.1).
8. Forma normală a matricei operatorului hiniar în spaţiile liniare complex şi real ([2], Supl. la cap.9; [3], partea 1, par. 9,12).
9. Forma canonică a matricei formei biliniare şi a operatorului liniar-unitar, antisimetric şi simetric ([3], partea 2, par. 3-10).
10. Bazele teoriei reprezentărilor liniare. Teorema lui Maschke. Lema lui Schur despre homomorfismele modulelor simple. Relaţiile de ortogonalitate pentru caractere. Reprezentările 1-dimensionale ale grupurilor finite. ([1], cap.14, par. 108; [2], cap.8, par.1,2,4,5; [19], cap.11, par.9).
11. Extinderile algebrice ale câmpurilor: teorema despre elementul primitiv. Câmpul de descompunere al elementului: existenţa şi unicitatea. Teorema fundamentală a teoriei lui Galois ([1], cap.6, par. 39-41, cap.8, par. 57,58; [2], cap.6, par. 3. cap.9, par. 1; [4], cap .6, par. 1.2; [18], cap.9,par.1,2; cap.10, par.5).
12. Câmpurile finite, subcâmpurile şi automorfismele lor. Teorema despe comutativitatea corpurilor finite ([1], cap.6, par. 43; [2], cap.9, par.1; [4], cap.6, par. 3; [18], cap.10, par.2).
13. Sisteme (structuri) algebrice. A1gebre libere. Varietăţi de algebre. Teorema lui Birkhoff despre structura varietăţii generate de algebrele date ([4], cap.2, par.2).
14. Latici. Latici Dedekind (modulare). Teorema despre şirurile de compoziţie; aplicaţii în grupuri, inele şi module; Structura laticilor distributive: Teorema lui Stone pentru cazul algebrelor booleene finite ([4], cap.3, par. 2-4).
15. Grupuri, inele şi module topologice. Axiomele de separare. Definirea topologiei cu ajutorul bazei de vecinătăţi a elementului neutru. Grupul cât. Teoremele despre homomorfismele grupurilor topologice ([14], cap.3, par.1,5; [15], par.17-19; [16], par. 1.1.-1.5).
16. Elemente din teoria categoriilor: categorii, functori, morfisme functoriale, echivalenţa categoriilor. Exemple. Produse şi coproduse ([11], cap. 1,5; [12], cap. 5, 6; [13], cap.1,5; [20], cap.3; [22], cap.1).
17. Functorii principali (functorii Hom) în categoria modulelor R-mod şi exactitatea lor. Module proiective şi injective ([15], cap. 1,5; [12], cap.5,6; [13], cap. 1,5; [20], cap.1, par.7,8; [27]).

Logica matematică

1. Noţiune de algoritm şi specificările lui. Calculabilitatea după Turing. Funcţiile parţial recursive; mulţimile recursiv enumerabile şi recursive. Teza lui Church ([9], cap.5, par.1- 3; [8], par. 1- 4, 11, 12; [7], par. 35-37; [17], cap.6,7).
2. Construirea semigrupului cu problema identităţilor irezolubilă ([8], par. 13).
3. Logica propoziţională. Reprezentarea funcţiilor booleene prin formule ale logicii propozi- ţionale. Formele normale conjunctive şi disjunctive ([7], par. 1-6; [10], cap.1; [26], cap.1).
4. Calculul propoziţional clasic. Completitudinea şi necontradicţia ([9], cap.1, par.4; [10], cap.2, par.3-10).
5. Logica clasică a predicatelor. Aducerea formulelor logicii predicatelor Ia forma normală prenexă ([7], par.15,16,20; [9], cap.2, par.10; [10],cap.3, par.1-3; [9], cap.4, par.14).
6. Calculul predicatelor de ordinul I. Necontradicţia. Teorema deducţiei ([7], par.18, 22; [9], cap.2, par.1-4; [10], cap.4, par.1-8; [26], cap.2).
7. Completitudinea calculului predicatelor de ordinul I. Teorema lui Mal’tsev despre compacticitate ([9], cap .2, par.5; [7], par. 17; [10], cap. 4, par.16).
8. Teoriile elementare ale claselor de sisteme algebrice, clase axiomatizabi1e. Criteriul de axiomatizare ([7], par.24, 25).
9. Teoriile categorice in puterea dată. Teorema despre completitudinea teoriei categorice in putere infinită ([7], par.29).
10. Aritmetica formală. Teorema despre reprezentarea funcţiilor calculabile în aritmetică formală ([9], cap.3, par.1-3).
11. Teorema lui Godel despre incompletitudinea aritmeticii formale ([9], cap.3, par.4,5).
12. Indecidabilitatea problemei algoritmice de deducţie în aritmetică şi logica predicatelor ([9], cap.3, par.6; [7], par.37, 38).
13. Diferite forme ale axiomei inducţiei matematice şi echivalenţa lor ([28], cap.1)
14. Axiomatica teoriei mulţimilor. Metoda inducţiei transfinite ([21], cap.5-8; [29], cap.3)
15. Numere cardinale. Operaţii cu numere cardinale. Inegalităţi între numerele cardinale. ([21], cap.5-8; [29], cap.3)

Literatura de specialitate

1. Ван дер Варден Алгебра. M.: Наука, 1976.
2. Koстрикин A.И., Введение в алгебру. M.: Наука, 1977.
3. Koстрикин A.И., Maнин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия. M.: Наука, 1985.
4. Скорняков Л.A. Элементы общей алгебры. M.: Наука, 1983.
5. Maльцев A.И. Алгебраические системы. M.: Наука, 1970.
6. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств. M.: Наука, 1982.
7. Ершов Ю. Л., Палютин E.A., Математическая логика. M.: Наука, 1987, (ediţia a 2-a).
8. Maльцев A.И., Алгоритмы и рекурсивные функции. M.: Наука, 1965.
9. Meндельсон А., Введение в математическую логику.M: Наука, 1984 (ediţia a 3-a).
10. Novikov P.S., Elemente de logică matematică. Editura ştiinţifică. Bucureşti, 1966. ( M.: Nauka, 1973(ediţia a 2-a)).
11. Anderson K.R., Fuller E.R. Rings and categories of modules Springer-Verlag, New York, Heidelberg Berlin, 1973.
12. Purdea Ioan, Tratat de a1gebră modernă, Vol.2, Ed. Academiei RSR, Bucureşti, 1982.
13. Kaш Ф., Модули и кольца. M.: Мир 1981.
14. Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры. M.: Наука, 1968.
15. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. M.: Наука, 1973, 1984.
16. Arnautov V.I., Glavatsky S.T., Mikhalev A.V. Introduction to the theory of topological rings and modules. Marcel Dekker, Inc. 1996 (Арнаутов В.И., Водинчяр M.И., Михалев A.В., Введение в теорию топологических колец и модулей. Chişinău, Ştiinţa, 1981.)
17. Wang Hao, Studii de logică matematică. Bucureşti: Editura ştiinţifică, 1972.
18. Ion D.Ion, Nicolae Radu. Algebra. Editura Didactică şi Pedagogică. Bucureşti. 1991.
19. Creangă Ion, Enescu Ion. Algebre. Editura Tehnică. Bucureşti. 1973.
20. Năstăsescu C. Inele, module, categorii. Editura Academiei Române, Bucureşti, 1965.
21. Kuratowski Kazimierz. Întroducere în teoria mulţimilor şi în topologie. Editura Tehnică, Bucureşti, 1969.
22. Bucur L. Algebra omologică. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965.
23. Caşu A. Introducere în teoria modulelor. Centrul Editorial USM. Chişinău, 2003.
24. Tudora Luchian. Algebra abstractă. Editura didactică şi pedagogică. Bucureşti, 1975.
25. Constantinescu C. Teoria mulţimilor. Editura Academiei Române. Bucureşti, 1962.
26. Enescu Gh. Introducere în logica matematică. Editura ştiinţifică. Bucureşti, 1965.
27. Solian Alexandru. Teoria modulelor (Categorii de module). Editura Academiei Române. Editura Academiei Române. Bucureşti, 1972.
28. Демидов И.Т. Основания арифметики. Москва. 1963.
29. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. Москва. 1948.

Bibliografie suplimentară

1. Radu Gheorghe. Algebra categoriilor şi functorilor. Editura Junimea. Iaşi, 1988.
2. Rudeanu Sergiu. Axiomele laticelor şi ale algebrelor booleene. Editura Academiei Române. Bucureşti, 1963.
3. Goian I., Marin V., Sârbu P. Extinderi de corpuri şi Teoria Galois. Centrul editorial USM. Chişinău, 2001.
4. Şafarevici I.R. Noţiunile fundamentale ale algebrei. Edfitura Academiei Române. Bucureşti, 1989.
5. Винберг Э.Б. Курс алгебры. Москва. Факториал Пресс, 2002.
6. Mihăilescu Eugen. Logica matematică. Editura Academiei Române. Bucureşti, 1969.
   
   

Specialitatea